МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ
ОБЩИМ И ПРЯМЫМ БИЛИРУБИНОМ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ БОЛЕЗНЕЙ ПЕЧЕНИ
Н. М. ИСАЕВА*,
Т. И. СУББОТИНА**
1. Введение
Взаимосвязь между билирубином и его фракциями была описана
во многих работах. Так, при моделировании вирусного гепатита была проведена
оценка информативности различных биохимических показателей, характеризующих
функциональное состояние печени [1, 2]. Из множества биохимических показателей
наиболее информативными оказались всего три:
содержание билирубина и его фракций, характеризующее состояние глюкуронидтрансферазной и билирубинвыделительной
функций печени; активность фермента печени ф-1-фа
(фруктозо-1-фосфатальдолаза), указывающая на обширность цитолитических
процессов; содержание b-липопротеидов, отражающее белково-синтетическую
функцию печени. Основанием для рекомендации такого сочетания биохимических
показателей были, в частности, данные корреляционного анализа, которые
показали, что существует высокая корреляционная зависимость между прямым и
непрямым билирубином, которая достигает значений более 0,9. Это является
свидетельством того, что оба показателя оказываются одинаково информативными,
хотя они отражают различные функции печени. В приведенных ниже исследованиях
основное внимание уделяется моделированию зависимости между общим и прямым
билирубином.
2. Результаты эксперимента
Рассмотренное исследование проводилось для лиц с
желчнокаменной болезнью (ЖКБ), которые в зависимости от этиологии первичного
поражения были разделены на 3 группы [3-5]: 1-я
группа - больные с алкогольным поражением печени (25 человек); 2-я группа - больные микросфероцитарной гемолитической анемией (48
человек); 3-я группа - больные с хроническим вирусным поражением печени различной
степени тяжести (109 человек). В
этой группе отдельно исследовались больные с хроническим
активным гепатитом (43 человека), больные с хроническим персистирующим гепатитом (51 человек) и больные с циррозом
печени (7 человек). В каждой группе определялись показатели биохимического
анализа крови, в частности, содержание в крови билирубина и его фракций. В
крови количество прямого и непрямого билирубина, а также соотношение между ними
резко меняются при поражениях печени, селезенки, костного мозга, болезней крови
и т.д., поэтому определение содержания обеих форм билирубина в крови имеет
существенное значение при дифференциальной диагностике различных форм желтухи.
В крови здорового человека содержится от 4 до 26 мкмоль/л
общего билирубина, в среднем 15 мкмоль/л.
Около 75 % этого количества приходится на долю непрямого билирубина. Приведем
результаты измерений общего, прямого и непрямого билирубина для трех групп
больных. Для лиц с алкогольным поражением печени эти результаты представлены табл 1.
Таблица
1
измерения общего, прямого и непрямого билирубина для
лиц с алкогольным поражением печени
|
Показатели |
Min |
Max |
Среднее значение |
|
Общий билирубин, мкмоль/л |
8,000 |
38,200 |
14,196 |
|
Непрямой билирубин, мкмоль/л |
5,000 |
20,000 |
10,484 |
|
Прямой билирубин, мкмоль/л |
0,000 |
30,000 |
3,712 |
Здесь min - наименьшее значение, max - наибольшее значение показателя для пациентов данной
группы. Значение прямого билирубина равно нулю у 11 человек из группы с
алкогольным поражением печени.
Таблица
2
измерения общего, прямого и непрямого билирубина для
лиц с хроническим активным гепатитом
|
Показатели |
Min |
Max |
Среднее значение |
|
Общий билирубин, мкмоль/л |
5,500 |
52,000 |
25,793 |
|
Непрямой билирубин, мкмоль/л |
5,000 |
35,500 |
17,947 |
|
Прямой билирубин, мкмоль/л |
0,000 |
30,500 |
7,847 |
В табл. 2
прямой билирубин равен нулю для 7 человек.
Для группы
лиц с хроническим персистирующим гепатитом (ХПГ)
значения общего, прямого и непрямого билирубина сведены в
табл. 3.
Таблица
3
измерения общего, прямого и непрямого билирубина для
лиц с хроническим персистирующим гепатитом
|
Показатели |
Min |
Max |
Среднее значение |
|
Общий
билирубин, мкмоль/л |
8,000 |
48,000 |
23,947 |
|
Непрямой
билирубин, мкмоль/л |
4,000 |
30,000 |
16,049 |
|
Прямой
билирубин, мкмоль/л |
0,000 |
32,500 |
7,986 |
Значение прямого билирубина равно нулю у 9 пациентов
группы с ХПГ.
3. Математические модели
Используя эксперимент, удалось получить регрессионые модели, на основании которых можно сделать
вывод, что для всех рассмотренных выше групп характерна устойчивая зависимость
между общим и прямым билирубином. Коэффициент корреляции, выражающий линейную
зависимость между этими показателями, для группы лиц с алкогольным поражением
печени равен 0,88445; для группы с
ХПГ r=0,81120; для группы с ХАГ r=0,80225, то есть наибольшее значение r получено для группы с алкогольным
поражением печени. Для этой же группы получены наиболее простые и точные
регрессионные модели. Зависимость общего билирубина (BILIR_OB) от прямого
(BILIR_PR) выражена полиномом четвертой степени, а
зависимость прямого билирубина от общего - полиномом второй степени. Обе модели
дают достаточно высокую точность прогноза. В приведенных ниже уравнениях R - множественный коэффициент
корреляции, Д - коэффициент
детерминации.
Прямая зависимость:
BILIR_OB=9,899099+0,117994×(BILIR_PR)2+
+1,489815×BILIR_PR-0,014296×
ILIR_PR)3+
+ 0,000325× (BILIR_PR)4,
где R=0,92184; Д=84,979
%. (1)
Обратная зависимость:
BILIR_PR = 0,749589+0,028574×(BILIR_OB)2-
-0,321107×BILIR_OB,
(2)
где R=0,92296; Д=85,185 %.
Для больных с ХПГ, в отличие от предыдущей группы,
зависимость прямого билирубина от общего выражается полиномом четвертой
степени, а зависимость общего билирубина от прямого - полиномом второй степени.
Прогнозная точность этих моделей несколько хуже, чем у
приведенных выше:
Прямая зависимость:
BILIR_OB =
14,98760 - 0,028427× (BILIR_PR)2+
+1,673501× BILIR_PR,
где R=0,84279; Д=74,844
%. (3)
Обратная
зависимость:
BILIR_PR=-33,8377-0,592693×(BILIR_OB)2+
+7,842224× BILIR_OB+0,018240×(BILIR_OB)3 -
-0,000185× (BILIR_OB)4, где R=0,89420; Д=79,960 %. (4)
Для группы с ХАГ получен наиболее низкий коэффициент
корреляции, модели (как прямая, так и обратная) являются полиномами пятой
степени.
Прямая зависимость:
BILIR_OB=13,61054+0,969983×(BILIR_PR)2+
+0,149018×BILIR_PR-0,117683 ×
ILIR_PR)3+
+0,004868×(BILIR_PR)4- 0,000066×(BILIR_PR)5, где R=0,83930; Д=70,443
%. (5)
Обратная зависимость:
BILIR_PR=4,560376-0,072017×(BILIR_OB)2-
-0,347458×BILIR_OB- 0,008057×(BILIR_OB)3 -
-0,000231×(BILIR_OB)4+0,000002×(BILIR_OB)5, где R=0,89420; Д=79,960 %.
(6)
Наряду с уравнениями регрессии зависимость между общим
и прямым билирубином может быть описана для некоторых групп с помощью линейных
дифференциальных уравнений. Так, для группы пациентов с алкогольным поражением
печени взаимосвязь между общим и прямым билирубином описана с помощью
регрессионной модели (2) или с помощью дифференцильного
уравнения:
x2y'' - 2xy'+2y = 2,
где х = BILIR_OB, BILIR_PR = b0× y, где b0 - фиксированное
значение, равное 0,749589. Так как
общее решение этого уравнения имеет вид:
y = 1 + c1x+
c2x2,
то, используя условия: y(9,788235)=0,176471;
y(29,3)=18,375, получаем с1 = - 0,423827, с2 = 0,034704. Результаты вычислений хорошо согласуются с формулой
(2):
BILIR_PR = 0,749589+0,028574×(BILIR_OB)2-
-0,321107× BILIR_OB =
= 0,749589×(1+ 0,038119×(BILIR_OB)2- 0,428377× BILIR_OB),
где R = 0,92296; Д = 85,185 %.
Для группы с ХПГ зависимость общего билирубина от
прямого билирубина задана уравнением регрессии (3) или моделью
x2y'' - 2xy'+2y = 30,
где х = BILIR_PR, у = BILIR_OB. Получив общее решение уравнения в виде
y = 15 (1 + ñ1x + ñ2x)
и, используя условия у(0,5)=15,75
и у(26,714286)=39,071429, находим значения с1 и с2. Частное решение дифференциального уравнения и линия
регрессии (3) приведены ниже:
y = 15 + 1,511424 x - 0,0228475x2,
BILIR_OB = 14,98760+1,673501×BILIR_PR -
- 0,028427×( BILIR_PR)2.
Для регрессионной модели получены значения R=0,84279; Д=71,029 %. Параметры регрессии и числовые коэффициенты частного решения мало
отличаются друг от друга. Таким образом, с помощью различных математических
методов удалось получить уравнения зависимостей между общим и прямым билирубином
для больных ЖКБ.
1. Нисевич Н.И., Марчук
Г.И., Зубикова И.И. и др. Математическое
моделирование вирусного гепатита.- М.: Наука, 1981.
2. Марчук
Г.И. Математические модели в иммунологии.- М.: Наука, 1980.
3. Субботина
Т.И. // ВНМТ.- 1998.- Т. V., N 3-4.- С.
77-78.
4. Субботина
Т.И. // ВНМТ.- 1998.- Т. V., N 1.-
С.136-137.
5. Рао С.Р. Линейные
статистические методы и их применение.- М.: Наука, 1968.- 547 с.
6. Себер Дж. Линейный
регрессионный анализ.- М.: Мир, 1980.- 456 с.
7. Афифи А., Эйзен С.
Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ / Пер.
с англ.- М.: Мир, 1982.- 488 с.
Mathematical
Simulation of a Dependence between Total and
Conjugated Bilirubin
N.M.
Isaeva, T.I. Subbotina
Summary
Using mathematical
methods the authors derived equations of dependence between total and
conjugated bilirubin in the case of cholelithiasis.